Algebra [Lecture notes] by Claus Scheiderer

By Claus Scheiderer

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Man nennt d1 , . . , dr die Elementarteiler von G. (b) F¨ ur jede Primzahl p ist G(p) := {g ∈ G : ∃n ∈ N mit pn g = 0} eine Untergruppe von G, genannt die p-prim¨are Komponente von G. Sind p1 , . . , ps die verschiedenen Primteiler von |G|, so ist G = G(p1 ) ⊕ · · · ⊕ G(ps ). (c) Sei p ein Primteiler von |G|. Es gibt k ∈ N und e1 ≤ · · · ≤ ek in N mit k G(p) ∼ = Z pej Z. j=1 Dabei sind k und e1 , . . , ek eindeutig bestimmt. 54 3. 8 Satz. Sei G eine zyklische Gruppe von Ordnung |G| = n < ∞. Dann ist Aut(G) ∼ = (Z/n)∗ kanonisch.

13 Definition. Sei K ein K¨orper mit char(K) = p > 0. Dann heißt ϕ : K → K, ϕ(a) = ap (a ∈ K) 3 der Frobenius (-Endomorphismus) von K. Man schreibt K p := {ap : a ∈ K}. 14 Bemerkungen. 1. Sei K ein K¨ orper mit char(K) = p > 0. Dann ist K p ein Teilk¨orper von K, und der Frobenius ist ein Isomorphismus von K auf K p . 2. Es ist ϕ(1) = 1, also ist f¨ ur a ∈ Fp auch ϕ(a) = a. Anders gesagt, es ist np ≡ n (mod p) f¨ ur alle n ∈ Z. Ist n ≡ 0 (mod p), so folgt np−1 ≡ 1 (mod p) (Kleiner Satz von Fermat) durch K¨ urzen im K¨orper Fp .

4 Bemerkungen. 1. Mit Fq bezeichnet man generell einen K¨orper mit q Elementen. 2. Vorsicht: Es ist zwar Fp = Z/(p). ). 5 Satz. Sei F ein K¨ orper, |F | = pn . Zu jedem Teiler d ≥ 1 von n gibt es einen, und nur einen, Teilk¨ orper E von F mit |E| = pd , n¨ amlich E = d α ∈ F : αp = α = Fix(ϕd ) (mit ϕ(α) = αp der Frobenius). Das sind alle Teilk¨ orper von F . Die Teilk¨ orper des K¨ orpers Fpn entsprechen also genau den (positiven) Teilern der Zahl n. Beweis. Ist E ⊆ F ein Teilk¨orper, so ist F ein E-Vektorraum, also |F | eine d Potenz von |E|, also |E| = pd mit d | n.

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